10 Denklemli Dünya

Bilim insanları; doğruluğu gözlem veya deney sonuçlarıyla yoklanabilir kuram ve hipotezlerle, evreni anlamaya çalışır. Bu uğraşları sonucunda birbirlerine bıraktıkları miras, günümüzü de aşarak geleceğe doğru bir çığ gibi büyümekte ve hala, tek bir birleşik kuramın peşinden gitme serüveni büyük bir istekle devam etmektedir. Bu merak, evereni anlama merakı, bilimin belki de panzehri olmayan zehridir. İşte bu zehir çalışma, uygun çevre koşulları ve zeka ile birleşerek; Dünya’yı, Evren’i, denklemlerle anlatmaya çalışmışlardır. Büyük bilim insanı Sir Isaac Newton, ölümünden kısa bir süre önce kendisinden şöyle söz etmişti:

“Dünyaya nasıl göründüğümü bilmiyorum ama ben kendimi; henüz keşfedilmemiş gerçeklerle dolu bir okyanusun kıyısında oynayan, düzgün bir çakıl taşı ya da güzel bir deniz kabuğu bulduğunda sevinen bir çocuk gibi görüyorum.”

Bu sözler, evreni anlama merakını çok güzel anlatmıştır. O zaman gelin, matematiksel açıklamalara pek girmeden, evrenle derdi olan bu insanların denklemlerine hep beraber göz atalım.

Evrensel Çekim Yasası

Isaac Newton top mermilerinin gidişi, meyvelerin ağaçtan düşüşü ve gezegenlerin hareketleri arasındaki ortak bağı keşfederek gökyüzü ile yeryüzünü birbirine bağlamış, böylece dev bir sıçrama yaratmıştır. Onun kütle çekim yasası, dünyamızdaki hareketlerin çoğunu açıklayan, fizikteki en güçlü fikirlerden biridir. Newton tüm nesnelerin kütle çekim kuvvetiyle birbirini çektiğini ve bu kuvvetin, uzaklığın karesiyle azaldığını ortaya atmıştır.

Newton fizikçi ve matematikçilerin belki de en büyüğüydü. Optik alanında çok önemli katkıları oldu, üç hareket yasasını formülleştirdi ve Leibniz’den bağımsız olarak diferansiyel ve integral hesabı geliştirdi. Newton’un evrensel kütle çekim yasasının önemi, tek bir teori ile birkaç fenomeni birden açıklaması ve birleştirmesinden kaynaklanır. Uzay ve zaman gibi görünürde birbirinden farklı iki kavramı birleştirme işi, Einstein’a kalmıştı.

İzafiyet (Görecelik) Teorisi

Einstein’ın ünlü denkleminde yer alan durağan kütlenin (m), büyük miktarda enerjiye dönüştürülebileceği anlaşılmaktadır. Yani enerji kütledir, kütle enerjidir. İşte tam burada; özel izafiyetin en önemli ilkelerinden biri, vakum içindeki ışık hızının (c) gözlemciye bağlı olmadığı önermesidir. Bu noktadan sonra, genel izafiyeti tartışabilmek için izafiyetin tuhaf kavramlarının çok önemli olduğunu bilmek gerekir: Üç uzay ve zaman boyutu.

Newton’un hareket yasaları futbol toplarından, otomobillere ve kuyruklu yıldızlara kadar nesnelerin çoğunun hareketini tanımlar. Ama 1905’te Albert Einstein, nesneler çok hızlı hareket ettiğinde bir takım garip etkilerin oluştuğunu göstermiştir. Hızı ışık hızına yaklaşan bir nesneyi izlerseniz, onun giderek daha ağırlaştığını, boyutunun kısaldığını ve daha yavaş yaşlandığını görürsünüz. Bunun nedeni evrensel hız sınırına yaklaştıkça zaman ve uzay deforme olmaya başlar.

Kütle çekimi özel görelilik kuramına dahil eden Einstein, genel görelilik kuramıyla uzay ve zamana bakışımızı kökten değiştirmiştir. Newton’un yasalarının ötesine geçerek kara deliklerin, solucan deliklerinin kütle çekim merceklerinin olduğu yepyeni bir evrenin kapılarını açmıştır.

Ne var ki, parçacıklar arası ortalama uzaklık atomun boyutuna yaklaştıkça; klasik fizik geçersiz kalır ve kuantum etkileri önem kazanır. Çoğu evrenbilimci, Einstein denklemlerinin kuantum etkilerini içermediklerinden dolayı geçersiz hale geldiğini düşünür. Einstein denklemleri, kuantum etkilerini kapsayacak şekilde genişletilmelidir. Einstein’ın kendisi de dahil olmak üzere günümüze kadar en ünlü fizikçiler, genel görelilik teorisi ile kuantum teorisini birleştirmeyi denediler ve başarılı olamadılar.

Schrödinger Denklemi

Kendi ilham kaynağı için Werner Heisenberg dağ yürüyüşlerine, Paul Dirac Cambridge St. John’s’daki üniversitenin odalarına ihtiyaç duyarken; matematiksel güçlüklerle dolu resimsiz teori olan Heisenberg’in matris mekaniğini küçümseyen, Zürih’teki yetenekli Erwin Schrödinger ise farklı bir şeye ihtiyaç duyuyordu: Fizik çalışmalarında genellikle aşk maceralarından ilham alıyordu. Çapkın Schrödinger, 1925 yılı Noel tatili sırasında kariyerinin en önemli keşfini Avusturya Tirol’daki ateşli bir aşk buluşmasında yapmıştır. Schrödinger’in müthiş keşfi, yerine konmuş dalgaların her birinin, kuantum sisteminin ayrı ayrı hallerini tanımladığı ve genliklerinin de o belli halin göreli önemini tüm sisteme verdiği bulgusuydu.

Eğer parçacıklar da dalga gibi yayılabiliyorsa, nerede olduklarını nasıl söyleyebiliriz? Erwin Schrödinger, dalga gibi davranan bir parçacığın bulunabileceği konumu ihtimale bağlı olarak veren, çığır açıcı bir denklem buldu. Bu denklem, atomlarda elektronların enerji düzeylerini de verdiği için kuantum mekaniğinin yanı sıra modern kimyayı da başlatmıştır.

Bugüne kadar tasarlanmış en başarılı fikirler dizisi olan kuantum teorisi; elementlerin periyodik tablodaki yerini ve kimyasal tepkimelerin niçin meydana geldiğini açıkladığı gibi, lazerlerin ve mikroçiplerin işleyişi, DNA’nın kararlılığı ve alfa parçacıklarının atom çekirdeğinden tünelleme yoluyla nasıl çıktığı konusunda da doğru tahminlerde bulunur.

Maxwell Denklemleri

Teorik fizik alanında Einstein’dan da önce önemli aşamalar kaydedilmişti. Modern fiziğin dönüm noktalarından biri olan Maxwell’in dört denklemi, evrensel kütle çekim kuramından sonraki en önemli gelişme olarak kabul edilir. Bu denklemler; elektrik ve manyetik alanların, aslında bir paranın iki yüzü gibi olduklarını ortaya koyar. Her iki alan da gerçekte aynı olgunun -elektromanyetik dalganın- farklı dışavurumlarıdır.

Faraday’ın elektromanyetik indüksiyonu diye bilinen buluşunu ortaya koyduğu yıl dünyaya gelen James Clerk Maxwell; elektrik yüklerinin yalnız birbirini değil, çevrelerini de etkilediği görüşüne ulaştığında, elektromanyetik güç alanı dediği yeni bir kavram oluşturur. Faraday’ın deneysel buluşlarıyla büyülenmiş olan Maxwell, daha ileri giderek, söz konusu etkinin sadece iletkende değil, uzayda da oluştuğunu ve hatta değişen elektrik alanın manyetizma ürettiğini gösterir. Denklemlerinden, elektrik ve manyetik etkilerin uzayda ışık hızıyla yol aldığı çıkmaktadır.

Hiç elektrik alanı olmadığında basit manyetik alanların ortaya çıkabildiği, elektrik alanının yoğunluğu zaman içinde değişkenlik gösterirse manyetik alanların çıktığı; Maxwell’in dört denklemi ile anlaşılabilir. Bunların tersi de geçerlidir ve bu durum ışık örneğinde de görülür.

Termodinamiğin İkinci Kanunu

Termodinamik, kelime anlamıyla ısı hareketidir. Bu hareket daima yüksek sıcaklığa sahip bir kütleden düşük sıcaklığa sahip kütleye doğru olur ve kütlenin sıcaklığı aynı olana kadar devam eder. Buna ısıl denge denir ve ısı, bir titreşim biçimi olarak tanımlanır. James Prescott Joule, ısının mekanik işe denk olabileceğini gösterdikten sonra Hermann von Helmholtz, “bir yerde bir miktar enerji kaybolursa, eşdeğer miktarda enerjinin aynı sistem içinde başka bir yerde ortaya çıkması gerekir” diye söylemiştir ve buna enerjinin korunumu yasası denilmiştir. Ardından Rudolf Clausius, enerjinin korunumu yasasına “Termodinamiğin Birinci Yasası” adını verdiğinde; termodinamiğin ikinci bir ilkesinin olduğunu, daha açık bir ifadeyle, sistemdeki toplam kullanılabilir enerjide daima bir azalma olduğunu, termodinamik süreçte kullanılabilir olmayan bir miktar ısı bulunduğunu ileri sürmüştür. Böylece Clausius, bir kütleden ötekine ısı aktarımı açısından tanımlanan entropi kavramını da ortaya atmıştır.

Termodinamiğin ikinci yasası, modern fiziğin temel direklerinden biridir. Isının sıcak nesnelerden soğuk nesnelere doğru gittiğini, tersi yönde gitmediğini söyler. Isı, düzensizliği yani entropiyi ölçtüğünden dolayı aynı olgu şöyle de anlatılabilir: Yalıtılmış bir sistemde entropi her zaman artar. İkinci yasa; zaman akışı, olayların gelişmesi ve Evren’in sonunun nasıl olacağı sorularında kilit öneme sahiptir.

Pisagor Teoremi

Bir dik üçgenin kısa kenarları kullanılarak çizilecek karelerin alanlarının toplamı, uzun kenar üzerine çizilecek karenin alanına eşit olur. Pisagor bunu, matematik tarihinde dik üçgenlerin sırrını dünyaya indiren ölümlü olarak geçer.

Uzun yıllar Babil’de yaşadıktan sonra Hindistan’a giden Pisagor, Hint ve Çin matematiği ile tanışmıştır. Kendisini meşhur edecek olan dik üçgen teoremini, burada, Çinlilerden öğrendiği tahmine edilmektedir. Zira o sırada Çinliler, dik üçgen teoremini çoktan biliyorlardı. Ardından Mısır’a giden Pisagor, İskenderiye’de matematik bilen rahiplerle tanışmıştır. Onlara, Çinlilerden öğrendiği dik üçgen teoremini kendi buluşu olarak anlatmış olacak ki, adı matematik tarihinin ölümsüzleri arasında yer almıştır.

Pisagor teoremi; bir dik üçgende, dik açıya karşı olan kenarın uzunluğunun karesinin, öteki kenarların uzunluklarının karelerinin toplamına eşit olduğunu ifade eden teoremdir. Bu teoremdeki eşitliğe Pisagor Bağıntısı denilirken, kenarlarının uzunluğu Pisagor Sayıları olan üçgen de Pisagor Üçgeni’dir.

Logaritma

Amatör bir matematikçi olan John Napier, sayısal hesaplamaları kolaylaştıracak bir yol ararken, önce Napier’in kemikleri diye bilinen, üzerinde rakamlar yazılmış küçük değnekler yardımıyla yapılan bir çarpma veya bölme yöntemi buldu. 1, 2, 3, … şeklindeki aritmetik dizi ile buna karşılık gelen 10, 100, 1000, … biçimindeki geometrik dizi arasındaki ilişkiyi gördü. 1614 yılında yazdığı “Logaritma Kurallarının Tanımı” adlı eserinde, aritmetik dizi ile geometrik dizinin karşılaştırılmasıyla, matematiğe logaritma kavramını getirdi. Günümüzdekilerden farklı olarak kurulan bu diziler, logaritmayı, sayısının azalan bir fonksiyonu olarak tanımlıyordu. Buradaki aritmetik dizi, geometrik dizinin logaritmasıdır.

Oxford Üniversitesi matematik profesörü Henri Briggs, Napier’in bu buluşunu benimsedi ve log cetvelinin hazırlanmasıyla ilgili düşüncelerini Napier’e açıklamak için Edinburgh’a gitti. Napier, 1618 ve 1624 yılları arasında kusursuz iki logaritma cetveli yayınladı. Bu eser onun tam yirmi yıllık bir çalışmasının ürünüdür. Logaritmalar için log işaretini; 1624 yılında Alman matematikçi ve astronomu J. Kepler ve 1632 yılında İtalyan matematikçisi B. Kavalieri önermişlerdir.

Logaritmik denklem, bilinmeyenin logaritmasını içeren denklemdir. Buradaki logaritma şu şekilde açıklanabilir: “N” sayısının sıfırdan büyük olduğu ve “a” sayısının 1’e eşit olmadığı durumlarda, a’nın m’inci kuvvetinin N’ye eşit olmasını sağlayan “m” sayısına; N sayısının, a tabanına göre logaritması denir.

Diferansiyel ve İntegral Hesabı

Onyedinci yüzyılda Newton ve Leibniz’in geliştirdiği hesap teknikleri o kadar güçlüydü ki, her yerde bu teknikler kullanılmaya başlandı. Bunun sonucu olarak, bu tekniklere bir isim vermek gerektiği ortaya çıktı: İnsanlar yüzlerce yıldır hesap yapmada kullandıkları çakıl taşlarını atarken “hiç olmazsa ismini tutalım dediler ve böylece Newton ve Leibniz’in geliştirdiği bu hesap tekniğine, Latince “çakıl taşı” anlamında “calculus” dendi.

Diferansiyel ve integral hesap -kalkülüs-; bilinmeyeni fonksiyon olan, bilinmeyenin türevlerini ve bu bilinmeyeni integral altında içeren denklemdir. Buradaki diferansiyel denklem, bilinmeyeni fonksiyon olan ve bu fonksiyonun en az bir türevini içeren denklem olarak yazılabilirken; integral denklem ise bilinmeyeni fonksiyon olan ve bilinmeyen fonksiyonu integral altında bulan denklemdir.

Bilgi Teorisi

Diyelim ki, başka bir gezegendeki canlılar çevreye zarar vermeden yeryüzündeki tüm insanları yok etmek istiyorlar. Bunun bir yolu, amaca uygun bir virüs bulmaktır. AIDS virüsü öldürücü ama bildiğimiz soğuk algınlığı virüsü gibi çok daha kolay bulaşan ve etkisi çok daha kısa bir sürede ortaya çıkan bir virüs kullanmaları gerekir ki, insanlar buna karşı önlem alacak zaman bulamasınlar. Bugün için tüm insanlığı çok kısa bir süre içinde yok edecek güçlü bir virüsün varlığı söz konusu değildir. Ama uygun teknolojik yöntemlerle böyle bir virüs üretilebilir. Dünya’yı insan ırkından temizlemeyi amaçlayan düşman gezegen halkının gereksinim duyduğu şey, bilgidir.

Bilginin tanımı, bir sistemdeki rastlantısallığı ölçen entropinin tanımı model alınarak yapılmıştır. Bilgi neden rastlantısallıkla ölçülmelidir? Basit, zira bir grup olası ileti arasından birini seçmekle beraber o grup içindeki rastlantısallığı ortadan kaldırmış oluruz. Amerikalı fizikçi Claude Shannon, 1948’de yayınlanan bir araştırması ile bilgi teorisini ortaya atmıştır. Bu teori çok önemli bir soruna, bilginin en kısa yoldan doğru biçimde iletilmesine çözüm getirmektedir. Bilgi teorisi, gerek akıcı matematiksel işlemleri gerekse geniş uygulama alanı ile çok başarılı bir bilim disiplinidir.

Kaos Teorisi

Yakın bir zamana kadar dikkate alınmayan muazzam ve tartışmalı bir keşif olan kaos fenomeni ile anılan kaos teorisi; yeni ve heyecan verici bir bilimsel araştırma dalıdır. Kaos kelimesinin ortaya çıkmasında, birtakım gelişmeler sebep olmuştur: Bilim insanlarına yüzlerce milyon karmaşık işlemi sadece saniyeler içinde gerçekleştirme imkanı, ender fenomenlere karşı (hava durumundaki ani değişim, salgınların yayılması, hücrelerin metabolizmaları, böcek ve kuşların nüfusundaki değişimler, uygarlıkların yükselmeleri ve çöküşleri, dürtülerin sinirlerimizdeki ilerlemesi gibi) bilimsel merakın eşlik ettiği bilgisayar gücü ve kaos teorisinin yeni türeyen geometrik matematikle (ör: fraktal geometri) harmanlanması sonucu doğmasıdır.

Kaos kuramı, koşullardaki çok küçük değişikliklerin ileride çok büyük sonuçlara yol açabileceğini söyler. Evden 30 saniye geç çıksaydınız, belki otobüsü kaçıracaktınız ama aynı zamanda sizi yeni bir işe yönlendirerek yaşamınızın akışını değiştirecek kişiyle de tanışacaktınız. Kaos kuramının en bilinen uygulama alanı hava durumudur: “Kelebek etkisi” adıyla bilinen olguda, küçük bir rüzgârcık, gezegenin bir başka yerinde kasırgaya yol açabilir. Ancak kaos gerçek anlamda kaotik değildir; içinde birtakım kalıplar barındırır.

Fraktal geometrinin öncü çalışmalarını yapan Benoit Mandelbort, Julia Kümesini keşfeden Gaston Julia ile Pierre Fatou, hava durumu tahminlerinde geliştirdiği model ile Lorenz Çekicisini keşfeden ve Kelebek Etkisi fikriyle anılan Edward Lorenz, türbilans üzerine çalışmalar yapan David Ruelle, hayvan nüfusu dinamikleri üzerine öncü çalışmalara imza atan Robert May, kaosun gerçek dünyada pek çok olayda var olduğuna dair kayda değer ilk teorik kanıtı bulan Mitchell Feigenbaum, yitirgen yapılar üzerine yaptığı çalışmalarla anılan Nobel ödüllü İlya Prigozhin, kaos teriminin yaratıcıları olarak anılan Tien Yien Li ile James York ve “kaos ve karmaşıklık birleştiğinde kaotik olarak adlandırılır” diyen Georges Anderla, Anthony Dunning ve Simon Forge; Kaos Teorisi’nin gelişiminde rol oynamışlardır.

Not: Matematikçi ve bilim yazarı olan Ian Stewart’ın, Dünyayı Değiştiren 17 Denklem adında bir kitabı 2013 yılında yayınlandı. Bunun üzerine Andy Kiersz, Science Alert sitesinde bu denklemleri özetledi ve Futurism sitesinde, Ten Equations That Changed The World (Dünyayı Değiştiren On Denklem) başlıklı bir infografik yayımlandı. Bu çalışmalar ve aşağıda verilen kaynaklar göz önünde bulundurularak, bu yazı hazırlanmıştır.

Hazırlayan: Taner Güler

Kaynaklar ve İleri Okuma

1- 50 Fizik Fikri, Domingo Yayınları, Joanne BAKER.
2- Bilimin Öncüleri, TÜBİTAK Yayınları, Cemal YILDIRIM.
3- Matematiğin Aydınlık Dünyası, TÜBİTAK Yayınları, Sinan SETÖZ.
4- İzafiyet Teorisi, NTV Yayınları, Bruce BASSETT ve Ralph EDNEY.
5- Kaos, NTV Yayınları, Ziauddin SARDAR ve Iwona ABRAMS.
6- Kuantum Teorisi, NTV Yayınları, J. P. McEVOY ve Oscar ZARATE.
7- Matematik Terimleri Sözlüğü, TDK Yayınları, H. Hilmi HACISALİHOĞLU ve Ark.
8- Rastlantı ve Kaos, TÜBİTAK Yayınları, David Ruelle.
9- Wikipedi
10- Futurism
11- Science Alert